1.1.2 单自由度无阻尼自由振动（2）内容简介

单自由度无阻尼振动的振动速度和加速度，振动的动能、势能和机械能，振动解的复数表示形式及含义。

知道了位移，通过对时间求一阶、二阶导数可以得到速度与加速度。

单自由度无阻尼自由振动，质量M的振动位移为 x (t) = A cos (ω₀ t + φ)

瞬时速度 v (t) = d x(t) / d t = - ω₀ A sin (ω₀ t + φ)

瞬时加速度 a (t) = d² x(t) / d t² = - ω₀² A cos (ω₀ t + φ)

位移、速度、加速度的区别与联系

相位关系：

• 速度的相位比位移的相位超前 π/2
• 加速度的相位比速度的相位超前 π/2
• 加速度和位移恰好反相

幅度关系：

• 位移振幅 → A
• 振速振幅 → ω₀ A
• 加速度振幅 → ω₀² A

位移、速度、加速度的区别与联系

前面的谐和位移、振速、加速度可用复数形式表示:

用复平面上旋转复矢量表示谐和振动:

谐和位移、振速、加速度在复平面上的旋转矢量表示

系统不受外力作用，为能量守恒系统，它决定于初始激发时所给予的能量，但在系统内，能量会转换。

动能和势能的转换

振动质量的动能（kinetic energy）：e_k = 1/2 M[v(t)]² = 1/2 M A² ω₀² sin² (ω₀ t + φ)

弹簧形变的势能（potential energy）：决定于弹簧形变过程中得到的形变能，也等于M运动时克服弹性力所作的功。

自由振动系统的能量关系

振动动能和势能的转换（假设系统无阻尼）

单自由度无阻尼自由振动总结：

1、振动的位移、速度和加速度函数均为谐和函数，幅度和相位不同;

2、无阻尼系统的自由振动过程中，系统总能量不变;

3、无阻尼系统的自由振动是系统质量上的动能与弹簧上的势能相互循环转化的过程。