如前所述（COMSOL声学模块:控制方程），要以解析方式求解声学问题的控制方程，例如亥姆霍兹方程 ( 方程2)，只有在某些简单的情况下才能实现。现实生活中的工业问题往往是各种物理场相耦合的多物理场问题，要解决这些问题，需要使用数值方法。这就是COMSOL Multiphysics 的职责所在。在 “声学模块”中，大多数物理场接口都以有限元法 (FEM) 为基础。为了扩大可以求解的模型范围，“声学模块”还包含基于边界元法的 “压力声学，边界元”接口、基于间断伽辽金法 (dG-FEM) 的两个接口，以及使用射线追踪法的 “射线声学”接口。
使用有限元法求解模型时需要计算网格。解在每个网格单元 （有限元）上通过形函数 （局部基或插值函数）逼近。在建立网格单元系统和局部形函数时会导致离散矢量矩阵问题，需要先解决这一问题。在使用适当的方法解决矩阵问题后，便可以重构原始问题的解。在通过数值方法解决波问题时，应注意其中所涉及的时间和长度尺度，下文将对此进行讨论。
数值分析是COMSOL多物理场仿真的底层运行逻辑，简要介绍一下其基本知识。
一、数值分析的基本概念
数值分析是 通过计算机算法近似求解数学问题 的科学，核心目标是在有限计算资源下，高效、稳定地获得满足精度要求的解。其研究对象包括：
- 误差分析：区分截断误差（模型近似）与舍入误差（计算机精度限制）。
- 数值稳定性：算法对输入误差的敏感性（例如：病态问题 vs 良态问题）。
- 收敛性与复杂度：确保算法随计算步骤增加趋近真实解，同时控制时间/空间成本。
二、数值分析的核心方法
1. 数值逼近（Numerical Approximation）
- 插值法：构造多项式/样条函数通过离散点（如拉格朗日插值、牛顿插值）。
- 最小二乘拟合：处理带噪声数据的曲线拟合（线性/非线性回归）。
- 函数逼近理论：用简单函数（如多项式、三角函数）逼近复杂函数（泰勒展开、傅里叶级数）。
2. 线性代数方程组的数值解法
- 直接法：高斯消元法、LU分解（适用于中小规模稠密矩阵）。
- 迭代法：雅可比迭代、共轭梯度法（适用于大规模稀疏矩阵，如有限元问题）。
3. 微分方程的数值解
- 常微分方程（ODE）：欧拉法、龙格-库塔法（单步与多步法）。
- 偏微分方程（PDE）：有限差分法（显式/隐式）、有限元法（弱形式与网格划分）。
4. 非线性问题的求解
- 不动点迭代：简单迭代法与收敛性分析。
- 牛顿法：单变量与多变量情形，需处理雅可比矩阵与初始值敏感性。
5. 数值优化
- 无约束优化：梯度下降法、拟牛顿法（BFGS算法）。
- 约束优化：拉格朗日乘数法、内点法（凸优化与非凸优化）。
三、数值分析的实际应用
- 工程领域：结构力学、声学仿真（有限元分析）、流体动力学（CFD）等等。
- 物理与化学：量子力学波函数计算、分子动力学模拟。
- 金融与经济：期权定价（Black-Scholes模型数值解）、风险评估（蒙特卡洛模拟）。
- 计算机科学：图像处理（偏微分方程去噪）、机器学习（梯度计算与优化）。
- 生物医学：医学影像重建（CT/MRI反问题求解）、药物分子动力学。