基本力学振动系统

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所属分类:声学基础
摘要

介绍电力声类比中基本力学振动系统,力学元件(质量Mm,力顺Cm,力阻Rm)与电路系统阻抗型类比及导纳型类比关系。

基本力学振动系统

单振子系统是一种基本的力学振动系统,这里来做简单的分析。设有一质量Mm的物体,缚在在弹性劲度系数为Km的无质量弹簧上,它在外力F = Fa e^jwt的作用下运动,运动时的摩擦阻力为Rm,则系统的运动方程为:

Mm d^2ξ / dt^2 + Rm dξ / dt + Km ξ = Fa e^jwt

因为质点速度v = dξ / dt ,并引用力顺 Cm = 1 / Km,则:

Mm dv / dt + Rm v + 1 / Cm ∫v dt = Fa e^jwt

求解上面的微分方程,得到质点的运动速度为:

v = F / Zm,式中 Zm = Rm + j(w Mm + 1 / (w Cm) )为系统的力阻抗

通过上式可以看出,电振荡与质点振荡,表面上似乎是毫无相关的两种物理现象,但他们的微分方程却具有完全相同的形式,他们的各自物理量 I 和 v 随时间也有类似的变化规律,这就反应了两种现象具有某些共同的规律性。

从微分方程形式上的相似性也直接揭示出力学元件与电学元件之间的一种类比关系为:

F - E ;v - I ;Mm - Le ;Cm - Ce ;Rm - Re

在这种类比中,力学系统的力阻抗 Zm 类比与电路系统的电阻抗 Ze ,故称为阻抗型类比,也称正类比。

如进一步考察力学振动系统可以发现,在力学系统中可以利用拾振器来测量系统中任意一点的振动速度,而不必扰动系统的运动;但要测量力却非要将测力计插入于系统内不可,这就表明,“流“过元件的是力,而元件的两端呈现的是速度差。这说明似乎也可以将力类比于电流,将速度类比于电压。事实上,通过比较就可以发现存在如下的类比关系:

F - I ;v - E ;Mm - Ce ;Cm - Le ;Rm - 1/Re

在这种类比中,力学系统的力阻抗 Zm 类比于电路系统的电导纳 Ye ,故称导纳型类比,也称为反类比。

由上述可见,对同一个力学系统,既可以采用阻抗型类比,也可以采用导纳型类比。

以上已经讨论了力学振动与电振荡的微分方程及其解的相似性,下面再深入讨论一下力学元件与电路元件之间的类比性质。

1)质量 Mm

质量是一种物理量,他是物理具有惯性的量度。当有外力对它作用时,它就获得加速度,加速度的大小与外力成正比,与物体的质量成反比,根据牛顿第二定律:

F = Mm dv / dt 。

因为讨论的是简谐振动,故稳态时有:

F = jw Mm v

在电路系统中也有类似的关系式:

E = jw Le I

质量 Mm 与电感 Le 不仅在数学形式上可以类比,而且在物理意义上也具有类同性质。这两个量都表征系统具有惯性,显然这种类比关系是阻抗型类比。

如果将其改写为:v = F / (jw Mm)

并将它与电路系统中的 E = I / (jw Ce)

相类比,则元件间的类比关系成为 v - E ;F - I ;Mm - Ce 。这种类比关系是导纳型类比。

基本力学振动系统

因为在阻抗型类比时,质量类比于电感,因而在阻抗型力学线路图中质量元件的符号也是借用电感的符号(如图a),“流”过它的速度是v,它的两端量是力F,在这种类比时,质量元件不“接地”。在导纳型类比时质量类比于电容,因而在导纳型力学线路图中质量元件的符号是借用电容的符号(如图b),“流”过它的是力F,它的两端量是速度差 v = v1 - v0,因为速度具有相对性,如果取参考坐标为不动的地面(惯性系,v0 = 0),则质量的速度都是相对于零速度的,所以在导纳型力学线路图中质量元件的一端“接地”。

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